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拓扑排序

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拓扑排序

给定一个 n个点 m 条边的有向图，点的编号是 1 到 n，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1。

若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y)，x 在 A 中都出现在 y之前，则称 A是该图的一个拓扑序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 x 和 y，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边 (x,y)。

输出格式

共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可。

否则输出 −1。

数据范围

1≤n,m≤1e5

输入样例：

3 3

1 2

2 3

1 3

输出样例：

1 2 3

思路：

AC代码

C++
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

//邻接表表示方法
int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx;

int d[N*2];
int q[N*2];//定义一个队列
int n,m;

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool topsort()
{
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!d[i]) q[++tt]=i;//将入度为0的点入队
    while(hh<=tt)
    {
        auto t=q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            d[j]--;
            if(d[j]==0) q[++tt]=j;
        }
    }
    return tt==n-1;//如果队列里面有n个点，则存在拓扑序列，否则有环，不存在拓扑序列
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
        d[b]++;//b的入度++
    }
    if(topsort())
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            cout<<q[i]<<" ";
        puts("");
    }
    else puts("-1");
    return 0;
}

拓扑排序stl实现

C++
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

// 邻接表存储图
int h[N], e[N*2], ne[N*2], idx; // h: 头节点，e: 目标点，ne: 下一条边，idx: 记录边序号
int d[N*2]; // 记录入度
queue<int> q;
int n, m; // 节点数，边数

// 添加边 a -> b
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; // 建立邻接表
}

// 拓扑排序（Kahn 算法）
bool topsort()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!d[i]) q.push(i); // 先将入度为 0 的点入队

    int cnt = 0; // 统计拓扑序列中的节点数
    while(!q.empty())
    {
        int t = q.front(); q.pop(); // 取出队头
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) // 遍历 t 的所有出边
        {
            int j = e[i]; // 目标节点
            d[j]--; // 入度减少
            if(d[j] == 0) q.push(j); // 入度变 0，入队
        }
        cnt++; // 统计遍历的点数
    }
    return cnt == n; // 如果遍历所有点，说明无环，否则有环
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表（所有点无边）

    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b); // 添加有向边 a -> b
        d[b]++; // b 的入度 +1
    }

    if(topsort()) puts("1"); // 无环
    else puts("-1"); // 有环
    return 0;
}

详解：

拓扑排序的概念

拓扑排序（Topological Sorting）是一种用于**有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）**的排序方法。它将图中的所有顶点排成一个线性序列，使得对于图中的每一条有向边 (u, v)​，u​ 都排在 v​ 之前。

拓扑排序的用途

拓扑排序常用于：

  1. 依赖关系处理

    • 任务调度（如课程安排，先学基础课再学进阶课）。
    • 编译依赖（如文件编译顺序）。

    • 解决数据流或事件流中的因果关系问题。
      2. 检测有向图是否有环

    • 如果一个图的所有点都能拓扑排序，则说明图是DAG（无环图） 。

    • 否则，说明图中存在环，无法进行拓扑排序。

代码解析

你的代码使用邻接表存储图，并通过入度统计+队列的方法进行拓扑排序。

1. 邻接表的存储

C++
const int N=1e6+10;
int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx;
  • ​h[i]​：表示顶点 ​i​​ 的邻接表头结点（初始值设为 -1​）。
  • ​e[idx]​：存储边的终点。
  • ​ne[idx]​：存储下一个邻接点的索引，形成链表。
  • ​idx​：维护当前边的编号。

2. 添加有向边

C++
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

这部分代码实现邻接表的构建：

  • ​e[idx] = b​：存储边 a → b​ 终点 b​。
  • ​ne[idx] = h[a]​：将当前边加入 a​ 的邻接表。
  • ​h[a] = idx++​：更新 h[a]​ 使其指向最新加入的边。

3. 拓扑排序的实现

C++
bool topsort()
{
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!d[i]) q[++tt]=i; // 入度为0的点入队
  • ​d[i]​ 记录顶点 ​i​​ 的入度（即有多少条边指向 i​）。
  • 遍历 1 ~ n​，将所有入度为 ​0​​ 的点入队列 ​q​​。
C++
while(hh<=tt)
{
    auto t=q[hh++];
    for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        d[j]--;
        if(d[j]==0) q[++tt]=j; // 入度变为0则入队
    }
}
  • 从队列取出一个点 ​t​​，表示已将 ​t​​ 放入拓扑序列。
  • 遍历 t​ 的所有邻接点 j​，入度 ​d[j]--​ ​。
  • 若 ​d[j] == 0​​ ，说明 ​j​​ 没有前置依赖，加入队列。
C++
return tt==n-1; // 如果队列里有n个点，说明无环
  • 如果所有 ​n​​ 个点都被加入队列，则存在拓扑序列，返回 true​。
  • 如果有环，则 ​tt < n-1​​，返回 false​。

4. 代码主函数

C++
int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
        d[b]++;// b 的入度 ++
    }
  • 先将 h​ 数组初始化为 -1​，表示所有点的邻接表为空。
  • 读取 m​ 条有向边，并建立邻接表，同时更新 b​ 的入度。
C++
if(topsort())
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<q[i]<<" ";
    puts("");
}
else puts("-1");
  • 如果拓扑排序成功，输出 q​（即拓扑序列）。
  • 否则输出 ​-1​​，表示图中有环，无法拓扑排序。

运行示例

示例1：无环

输入

Text Only
5 4
1 2
1 3
3 4
2 5

图的结构

Text Only
    1 → 2 → 5
    │
    └→ 3 → 4

输出

Text Only
1 3 2 4 5

说明可以按 1 → 3 → 2 → 4 → 5​ 这样的顺序完成拓扑排序。

示例2：有环

输入

Text Only
3 3
1 2
2 3
3 1

图的结构

Text Only
    1 → 2 → 3 → 1（形成环）

输出

Text Only
-1

因为 1 → 2 → 3 → 1​ 形成了环，所以无法进行拓扑排序。

总结

  • 拓扑排序的时间复杂度：O(n + m)​，适用于大规模 DAG 的排序问题。
  • 队列法（Kahn算法） ：使用入度统计 + BFS，适用于判断环、任务调度、依赖管理等问题。
  • 代码逻辑：
  1. 初始化入度，找出所有 d[i] = 0​ 的点入队。
  2. 循环出队，依次减少相邻点的入度，若 d[j] = 0​ 再入队。
  3. 若能遍历完 ​n​​ 个点，说明无环；否则有环。

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